数字控制开关电源

开关电源数字控制

相关参考链接

B战杨帅哥的开关电源数字控制

知乎开关频率与闭环带宽

1 数字控制开关电源的重要内容

1	采样时间点对滞后的影响（零阶保持器），ADC采样点与相位优化的关系
2	控制带宽频率与开关频率的关系（为什么是五倍的关系)
3	s平面与z平面的映射关系
4	使用梯形积分法将s域传递函数变为z域传递函数，之后差分化变为代码。在Z域下直接设计补偿控制器。
5	Z变换到代码中的具体操作
6	MATLAB的sisotool工具、c2d工具等使用

2 采样时间点对滞后的影响（零阶保持器），ADC采样点与相位优化的关系

$$\mathrm{图}1$$

计算$fx$频率下的相位余量公式为：

$$△\varphi =-{360}^{\circ }\times \frac{fx}{Fx}\times Kd$$

$Fx$为采样频率	$Kd$为延迟周期比例

在$Fs=100KHz$与$fx=20kHz$的情况下计算。

在PWM周期开始采样，$Kd=1$,计算相位在20KHz滞后${72}^o$。

在PWM周期一般开始采样，Kd=0.5，计算相位在20KHz滞后${36}^o$。

应该尽可能的在PWM周期中后段触发ADC采样，可以有利于系统稳定性，提高相位余量。

数字控制的延时问题

就是如果采样频率等于开关频率，在环路中会引入${540}^o$的相位滞后，也就是说，在开关频率处会引入540度的相位滞后！即使截止频率是开关频率的$\frac{1}{10}$，光是数字控制在截止频率处也会引入54度的相位滞后，其实也很难补偿回来了。所以说，在数字控制下，为了保持控制系统有足够的相角裕度，其截止频率会更低一些，从而减小数字控制引入的相角滞后的影响。当然还有一种办法是提高采样频率，现在我们做逆变器一般采样频率是开关频率的两倍。这也是为了减小数字控制造成的延迟。

3 控制带宽频率与开关频率的关系（为什么是五倍的关系)

$$\mathrm{图}2$$

​ 假设一个电力电子变换器开关频率为100k，调制波频率为10k，那么经过PWM环节得到占空比，状态空间平均法认为得到的占空比也是一个10k的交流信号(如图2所示的红线)，即PWM环节等效为一个比例环节。但实际上不完全是这样的，对占空比做傅里叶分析，可以知道占空比中除了10k的分量外，还有90K，110K，190K……的分量，那么状态空间平均法的准确度就依赖于这些非基波分量的抑制程度，显然，带宽越低，对这些非基波频率的分量抑制能力越强，状态空间平均法得到的模型就越准确。这是电力电子变换器环路截止频率为开关频率的1/5~1/10的重要原因之一，当环路截止频率超过开关频率的1/5以后，用状态空间平均法得出的模型就和实际模型差距比较大了。

4 s域和z域的映射关系

基础知识部分

首先对于是一个负反馈来说。极点必须位于s平面的左半平面的原因是：对于负反馈系统的话，假设分母为$(s+p1)(s+p2)$可知极点为$p1p2$的,经过拉式反变换。

最后变换出的输出量中有含有乘法$e^{-pt}$，此时只有p满足在S左半平面，当$t\to \mathrm{\infty }$时有$e^{-pt}\to 0$,此时系统误差可趋向于0，因此系统稳定。

首先B站视频图像化展示s域z域的关系

$$\mathrm{视}\mathrm{频}1\mathrm{拉}\mathrm{式}\mathrm{变}\mathrm{换}S\mathrm{域}\mathrm{到}Z\mathrm{平}\mathrm{面}$$ $$\mathrm{图}3$$

5 z变换实操案例

基础知识1 z变换

序列$x(n)$的z变换为$X(z)$,序列$y(n)=x(n-1)$的z变换为$Y(z)$

$$Y\left(z\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(n)z^{-n}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n-1)z^{-n}$$

$K=n-1$代入变为

$$Y\left(z\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(k)z^{-(k+1)}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(k)z^{-k}{z}^{-1}$$

经整理得

$$Y\left(z\right)=z^{-1}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(k)z^{-k}=z^{-1}[X(z)]$$

可以如下图进行展示

$$\mathrm{图}4$$

基础知识2 梯形积分法的Z变换相关公式

$$\begin{gathered} s=\frac{2}{T}\frac{(z-1)}{z+1}=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \\ T\mathrm{为}\mathrm{采}\mathrm{样}\mathrm{周}\mathrm{期} \end{gathered}$$

计算实例

步骤1获取目标同步函数

$$\begin{gathered} H_c(s)=\frac{w_{P0}}{s}\frac{(\frac{s}{w_{Z1}}+1)(\frac{s}{w_{Z2}}+1)}{(\frac{s}{w_{P1}}+1)(\frac{s}{w_{P2}}+1)} \\ s=\frac{2}{T_s}\frac{(z-1)}{z+1}=\frac{2}{T_s}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \end{gathered}$$

将s代入

$$H(\frac{2(1-\frac{1}{z})}{T(\frac{1}{z}+1)})=\frac{T{w}_{P0}(\frac{2(1-\frac{1}{z})}{T_{w_{Z1}}(\frac{1}{z}+1)}+1)(\frac{2(1-\frac{1}{z})}{T_{w_{Z2}}(\frac{1}{z}+1)}+1)(\frac{1}{z}+1)}{(\frac{2(1-\frac{1}{z})}{T_{w_{P1}}(\frac{1}{z}+1)}+1)(\frac{2(1-\frac{1}{z})}{T_{w_{P2}}(\frac{1}{z}+1)}+1)(1-\frac{1}{z})}$$

进行因式分解

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}{H}_C[z]& =\frac{\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}& w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}+4T)z^3+\\ & w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}-4T)z^2+\\ & w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}-4T)z^1+\\ & w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}+4T)z^0\end{array}\end{array}}{\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}& w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)z^3+\\ & w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^2+\\ & w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}+24)z^1+\\ & w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^0\end{array}\end{array}}\\ & =\frac{B_3{z}^{-3}+B_2{z}^{-2}+B_1{z}^{-1}+B_0}{-A_3{z}^{-3}-A_2{z}^{-2}-A_1{z}^{-1}+1}\end{array}\end{array}$$

上下同时乘$z^{-3}$即为时间向前移动3个延时

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{H}_C[z]& =\frac{\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}& B_0\to w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}+4T)z^0+\\ & B_1\to w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-1}+\\ & B_2\to w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-2}+\\ & B_3\to w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}+4T)z^{-3}\end{array}\end{array}}{\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}& A_0\to w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)z^0+\\ & A_1\to w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-1}+\\ & A_2\to w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}+24)z^{-2}+\\ & A_3\to w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-3}\end{array}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

步骤2归一化

归一化的目的为使得$A_0=1$，将$H_Z[z]$上线同乘$\frac{1}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}$然后就可以得到下式：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}{H}_C[z]& =\frac{\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}& B_0\to \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}+4T)z^0}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}+\\ & B_1\to \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-1}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}+\\ & B_2\to \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-2}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}+\\ & B_3\to \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}+4T)z^{-3}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\end{array}\end{array}}{\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}& A_0\to 1+\\ & A_1\to \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-1}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}+\\ & A_2\to \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}+24)z^{-2}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}+\\ & A_3\to \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-3}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\end{array}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

步骤3 最终结果

$$\begin{gathered} H_C[z]=\frac{B_3{z}^{-3}+B_2{z}^{-2}+B_1{z}^{-1}+B_0}{-A_3{z}^{-3}-A_2{z}^{-2}-A_1{z}^{-1}+1} \\ \begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}{B}_0=& \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}+4T)z^0}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ B_1=& \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}+2T^2)w_{Z2}+2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-1}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ B_2=& \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((3T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}-4T)z^{-2}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ B_3=& \frac{w_{P0}{w}_{P1}{w}_{p2}((T^3{w}_{Z1}-2T^2)w_{Z2}-2T^2{w}_{Z1}+4T)z^{-3}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ \\ A_1=& \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-1}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ A_2=& \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}-4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}+24)z^{-2}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\\ A_3=& \frac{w_{Z1}{w}_{Z2}((-2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}-2T{w}_{P1}-24)z^{-3}}{w_{Z1}{w}_{Z2}((2T^2{w}_{P1}+4T)w_{P2}+2T{w}_{P1}+8)}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

由上面可知手动离散化的过程是痛苦漫长的，但是可以用MATLAB中的

matlab为连续系统提供了离散化模型。利用$c2d()$函数可实现连续函数的快速离散化。$c2d()$函数的调研格式为：

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rl}sysd& =c2d(sys,Ts)\\ sysd& =c2d(sys,Ts,method)\end{array}\end{array}$$

式中，$sysd$为采样时间$Ts$的离散时间模型；输入参量$sys$为连续时间模型对象；$Ts$为采样周期。$Method$用来指定离散化采用的方法：

$zoh$	采用零阶保持器法，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。因为在每一个采样区间内连续的阶梯信号的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器；
$foh$	采用一阶保持器法，与上面不同的是，在信号传递过程中，两个相邻采样点之间的信号是一阶函数，起点和终点的值分别等于前后两个采样点的值则
$tustin$	采用双线性变换法
$prewarp$	采用改进的双线性变换法
$matched$	采用零极点匹配法

默认为$zoh$。

基$MATLAB$的的例子：求下式的$Z$变换：

$$G(s)=\frac{10(s+1)}{(s+3)(s+5)(s+7)}$$

步骤4 差分化

已知

$$\frac{y[z]}{x[z]}=\frac{B_3{z}^{-3}+B_2{z}^{-2}+B_1{z}^{-1}+B_0}{-A_3{z}^{-3}-A_2{z}^{-2}-A_1{z}^{-1}+1}$$

经化解可得

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{rl}x[z]\times (B_3{z}^{-3}+B_2{z}^{-2}+B_1{z}^{-1}+B_0)& =y[z]\times (-A_3{z}^{-3}-A_2{z}^{-2}-A_1{z}^{-1}+1)\\ B_3{x}_{n-3}+B_2{x}_{n-2}+B_1{x}_{n-1}+B_0{x}_n& =-A_3{y}_{n-3}-A_2{y}_{n-2}-A_1{y}_{n-1}+y_n\end{array}\end{array}$$

可得最终差分化所得的差分方程：运行在处理器中

y是控制量 x是误差 下标为多少周期前

$$y_n=B_3{x}_{n-3}+B_2{x}_{n-2}+B_1{x}_{n-1}+B_0{x}_n+A_3{y}_{n-3}+A_2{y}_{n-2}+A_1{y}_{n-1}$$