AP法公式推导

开关电源设计之：AP法的公式推导

1 前提条件

由变压器基本公式可得下列表

序号	说明
1	忽略磁芯的磁阻，全部能量在气隙中
2	气隙量较大，磁导率 $u_{r} $接近常数，且不触发磁饱和
3	气隙中磁通密度为均匀分布
4	气隙中磁场强度$H$

2 基本磁心公式

根据法拉第电磁感应定律，绕组中感生的磁动势为

$$e=N\frac{dΦ}{dt}=\frac{LdI}{dt} \tag{1.1}$$

而

$$Φ=A_{g}B \\Φ:总磁通$$

可得

$$e=NA_{g}\frac{dB}{dt}$$

设$A_{g}=A_{p}$，其中$A_{p}$为磁心柱面积（忽略边缘效应）

根据安培定律有

$$mmf=\int Hdl_{g}=H_{lg}=NI \tag{1.2}$$

磁场的关系式为：

$$B=u_{r}u_{0}H$$

而空气的磁导率$u_{r}=1$,因此有

$$H=\frac{B}{u_{0}} \tag{1.3}$$

联立式$1.1$，得

$$e=L\frac{di}{dt}\\edt=Ldi$$

公式两边同时乘以$I$并积分有

$$J=\int eIdt=\int LIdi=\frac{1}{2}LI^{2}\tag{1.4}$$

由式1.2可得

$$I=\frac{Hl_{g}}{N}\tag{1.5}$$

式1.5与1.1相乘可得

$$EI=NA_{g}\frac{dB}{dt}H\frac{l_{g}}{N} \longrightarrow EIdt=A_{g}L_{g}HdB$$

两边积分可得

$$\int EIdt =J = A_{g}L_{g}\int HdB \tag{1.6}$$

又因为$H=\frac{B}{u_{0}}$，即磁通等于场强乘磁阻有：

$$J = A_{g}L_{g}\int \frac{B}{u_{0}}dB =\frac{A_{g}L_{g}}{u_{0}} \int {B}dB=\frac{1}{2}\frac{A_{g}L_{g}}{u_{0}} B^{2}$$

再次因为$H=\frac{B}{u_{0}}$，可得

$$J =\frac{1}{2}A_{g}L_{g}BH \tag{1.7}$$

联立式子1.4与式1.7可得

$$\frac{1}{2}LI^{2} =\frac{1}{2}A_{g}L_{g}BH \tag{1.8}$$

又因为式1.2有$NI=HI_{g}$带入式1.8中可得：

$$\frac{1}{2}LI^{2} =\frac{1}{2}BA_{g}NI \longrightarrow LI=BA_{g}N\longrightarrow N=\frac{LI}{BA_{g}}\tag{1.9}$$

其中$I$是峰值电流

现在考虑到绕组：安匝数等于导线中的电流密度$I_{a}$乘以填充系数$K_{u}$修改的有效窗口面积$A_{w}$

$$NI_{rms}=I_{a}A_{w}K_{u}\longrightarrow N=\frac{I_{a}A_{w}K_{u}}{I_{rms}} \tag{1.10}$$

3 结论推导(公式部分)

联立式1.9和1.10得：

$$\frac{LI}{BA_{g}}=\frac{I_{a}A_{w}K_{u}}{I_{rms}}$$

AP法中$AP=A_{w}A_{g}$为：

$$AP=A_{w}A_{g}=\frac{LII_{rms}10^4}{I_{a}K{u}B} \tag{1.11}$$

4 结论推导（文字部分）

在连续电流的变压器中，峰值电流幅值$I$非常接近于有效电流值$I_{rms}$，因此有$I\times I_{rms} \approx I^2$.此外，在大多数应用中，电流密度$I_{a}$、填充系数$K_{u}$和峰值磁通密度$B$被当做常数处理，因此式子$(1.11)$可以将AP值与储存的能量联系起来（功率处理能力）。从而将AP值应用到磁芯的选择中。

日常美图收藏