Hello World by 阿水

何须更问浮生事,只此浮生是梦中 鸟窠禅师《无题》

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电容放电速度分析,τ=RC

1 定性分析:

如图1为超级电容放电电路

QQ截图20211209174121.png

图1 超级电容放电电路

如图1所示此时公式为

$\begin{cases} & \text{ } R+ R_{S}=U_{c}(t) \\ & \text{ } I=c \frac{dU_{c}}{dt}\end{cases}$
此时初始时刻的状态为

$C\frac{dU_{c}}{dt}(R+ R_{S})=U_{c}(0)$

电容外部电压等于电容自身电压(基尔霍夫电压定律)

2 定量部分:

如图2为超级电容放电电路

12.png

图2

电路中电流关系如下所示:

初始状态 $\begin{cases} & \text{ } R+ R_{S}-U_{c}(t)=0 \\ & \text{ } I=c \frac{dU_{c}}{dt}\end{cases}$
进一步整理可得 $\begin{cases} & \text{ } \frac{1}{C}\int Idt=U_{初始}+U_{C}(t) \\ & \text{ } R+ R_{S}-\frac{1}{C}\int Idt = 0\end{cases}$

进一步假设:设$U_{初始}=3.0V$

$U_{初始}=3.0V $ $\begin{cases} & \text{ } \frac{1}{C}\int Idt=3V+U_{C}(t) \\ & \text{ } IR+ IR_{S}-(3-\frac{1}{C}\int Idt) = 0=(IR+ IR_{S}+\frac{1}{C}\int Idt)-3\end{cases}$

根据高等数学齐次方程可知:电流设为$e$的对数形式($exp$形式)。将$I=e^{At+B} $带入可得上式可得:

将$ I=e^{At+B} $带入 $\begin{cases} & \text{ } I= e^{At+B} \\ & \text{ } IR+ IR_{S}-(3-\frac{1}{C}\int Idt) = 0=(IR+ IR_{S}+\frac{1}{C}\int Idt)-3 \end{cases}$
带入收得到 $e^{At+B}(R+R_{s})+\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt =3$
移项 $\\ e^{At+B}(R+R_{s}) =3-\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt$
两边求导 $A \times e^{At+B}(R+R_{s}) =-\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt$
消除同类项 $A \times (R+R_{s}) =-\frac{1}{C}$

最终可得

$A= -\frac{1}{C(R+R_{S})}$

可知放电电流为

电容电流与时间的关系 $I=e^{-\frac{1}{C(R+R_{S})}t+B}$

可知外阻影响着放电电流的衰减速率.

3 结论

结论:对于一个超级电容来说电荷量$Q$是固定的,而Q=电流X时间等价于$Q=I \times t$。故电流衰减速率越大则放电时间越短,放电时间越短则初始最大放电电流越大。

一句话结论,电阻越小,最大放电电流越大。

电流衰减速率越大则放电时间越短,放电时间越短则初始最大放电电流越大。